Bài Toán Tính Lãi Suất - Toán Cho Các Nhà Kinh Tế 1

Bài viết này Vted giới thiệu và tổng phù hợp đến chúng ta đọc toàn bộ các dạng toán lãi vay kép thường xuyên mở ra trong đề thi THPT giang sơn các năm sát đây:

>Tổng hợp toàn bộ các phương pháp tính nhanh nửa đường kính mặt ước ngoại tiếp khối nhiều diện

Định nghĩa lãi kép:Gửi tiền vào ngân hàng, nếu mang lại kì hạn fan gửi khôngrút lãi ra và số chi phí lãi được xem vào vốn để tính lãi mang đến kì kế tiếp.

Bạn đang xem: Bài toán tính lãi suất

Ta cùng xét một số trong những dạng việc hay gặp gỡ là căn cơ kiến thức để xử lý các trường phù hợp riêng như sau:

Dạng 1:Theo hiệ tượng lãi kép, gởi $a$ đồng, lãi suất vay $r$ một kì theo vẻ ngoài lãi kép. Tính số chi phí thu sau đây $n$ kì.

Sau kì trước tiên số tiền thu về $A_1=a+ar=a(1+r).$

Sau kì máy hai số tiền đuc rút $A_2=A_1(1+r)=a(1+r)^2.$

Sau kì vật dụng $n$ số tiền đuc rút $A_n=a(1+r)^n.$

Ta có công thức lãi kép tính tổng số tiền đuc rút $A_n$ (gồm gốc và lãi) sau $n$ kì là

trong kia $a$ là số tiền gốc gửi vào đầu kì cùng $r$ là lãi suất.

Số chi phí lãi thu sau này $n$ kì là $L_n=a(1+r)^n-a=a<(1+r)^n-1>$ (đồng).Số chi phí gửi thuở đầu $a=dfracA_n(1+r)^n$ (đồng).Lấy logarit nhì vế, ta được: $n=log _1+rdfracA_na(*).$

Công thức (*) cho thấy thêm để tổng số chi phí thu sau này $n$ kì tối thiểu là $A_n$ thì cần sau ít nhất $n=log _1+rdfracA_na$ kì gửi.

Trong thực tế, khi $log _1+rfracA_na$ nguyên thì $n=log _1+rdfracA_na,$ khi $log _1+rdfracA_na$ lẻ thì $n=left< log _1+rdfracA_na ight>+1.$

Ví dụ 1.Theo bề ngoài lãi kép, một tín đồ gửi vào bank 10 triệu đồng, lãi vay theo kì hạn 1 năm là 6% thì sau hai năm người này thu về số tiền là ?

A. 11,236 (triệu đồng).

B. 11 (triệu đồng).

C. 12,236 (triệu đồng).

D. 11,764 (triệu đồng).

Giải. Số tiền thu về sau 2 năm là

<10.(1+0,06)^2approx 11,236> (triệu đồng).

Chọn câu trả lời A.

Số tiền lãi là $11,236-10=1,236$ (triệu đồng).

Ví dụ 2.Theo hiệ tượng lãi kép, một bạn gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng, lãi suất theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau hai năm người này đuc rút số chi phí lãi là ?

A. 11,272 (triệu đồng).

B. 10,617 (triệu đồng).

C. 1,272 (triệu đồng).

D. 0,617 (triệu đồng).

Giải. Tổng số tiền người này đuc rút là

<10.(1+0,005)^24approx 11,272> (triệu đồng).

Số tiền lãi thu về là $11,272-10=1,272$ (triệu đồng).

Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 3.Theo vẻ ngoài lãi kép, một người gửi vào ngân hàng 15 triệu đồng, lãi vay theo kì hạn một năm là 6%. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền tín đồ này thu về tối thiểu là 19 triệu đồng ?

A. 4 năm.

B. 6 năm.

C. 3 năm.

D. 5 năm.

Giải. Số tiền fan này thu sau đây $n$ năm là $15.(1+0,06)^n$ (triệu đồng).

Theo mang thiết, ta có

$15.(1+0,06)^nge 19Leftrightarrow nge log _1,06frac1915approx 4,057.$

Vậy sau ít nhất 5 năm thì số tiền người này thu về là tối thiểu 19 triệu đồng.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4. Một người có số tiền là $150.000.000$ đồng, mang gửi tiết kiệm chi phí theo thể thức lãi kép, nhiều loại kỳ hạn $6$ tháng vào ngân hàng với lãi suất <4%/>1 kỳ hạn. Vậy sau thời gian <7> năm <9> tháng, tín đồ đó nhận thấy tổng số tiền cả vốn với lãi là bao nhiêu (số tiền được thiết kế tròn mang đến <100> đồng)? biết rằng khi thời điểm rút tiền chưa tròn những kỳ hạn thì số ngày rút trước thời hạn (phần chưa tròn kỳ hạn) ngân hàng sẽ trả lãi suất vay theo nhiều loại không kỳ hạn <0,01%> một ngày. (<1> mon tính <30> ngày). Biết trong toàn thể quá trình gửi, fan đó không rút tiền nơi bắt đầu và lãi, lãi vay không cầm đổi.

A. <275.491.382> đồng.

B. <271.491.526> đồng.

C. <272.572.800> đồng.

D. <270.141.526> đồng.

Giải.Tổng số tiền thừa nhận của khoản gửi theo như đúng kì hạn 6 tháng sau 7 năm 6 tháng là $150left( 1+0,04 ight)^15$ triệu đồng.

Tổ số lãi nhận ra của phần rút trước hạn cho 3 tháng = 90 ngày là $150left( 1+0,04 ight)^15 imes 0,0001 imes 90$ triệu đồng.

Vậy toàn bô tiền cảm nhận sau 7 năm 9 mon là $150left( 1+0,04 ight)^15+150left( 1+0,04 ight)^15 imes 0,0001 imes 90approx 272,572800$ triệu đồng. Chọn lời giải C.

Ví dụ 5:Một người gửi số chi phí $500$ (triệu đồng) vào bank với lãi vay $6,5$%/năm theo hiệ tượng lãi kép. Đến hết năm sản phẩm $3,$ vì buộc phải tiền nên fan đó đúc kết $100$ (triệu đồng), phần còn lại vẫn liên tiếp gửi. Hỏi sau: $5$ năm kể từ lúc ban đầu gửi, bạn đó có được số chi phí là bao nhiêu? (Giả sử lãi suất vay không chuyển đổi trong suốt quy trình gửi; không nhắc $100$ (triệu đồng) vẫn rút).

A. $571,620$ (triệu đồng).

B. $572,150$ (triệu đồng).

C. $573,990$ (triệu đồng).

D. $574,135$ (triệu đồng).

Giải.Số tiền nhận thấy sau 5 năm là $left< 500left( 1+0,065 ight)^3-100 ight>left( 1+0,065 ight)^2approx 571,620$ triệu đồng. Chọn đáp án A.

Dạng 2:Theo hiệ tượng lãi kép, đầu mỗi kì gởi $a$ đồng, lãi suất vay $r$ một kì. Tính số tiền thu được sau $n$ kì (gồm cả gốc và lãi)

Số chi phí thu về sau kì thứ nhất là $A_1=a(1+r).$

Số chi phí thu sau đây kì sản phẩm công nghệ hai là $A_2=a(1+r)+a(1+r)^2.$

Số tiền thu sau đây $n$ kì là $A_n=a(1+r)+a(1+r)^2+...+a(1+r)^n.$

Áp dụng cách làm tính tổng riêng thiết bị $n$ của cấp số nhân với số hạng đầu và công bội $left{ eginalign& u_1=a(1+r) \& q=1+r \endalign ight.$, ta có

tổng số chi phí lãi nhận được: $L_n=A_n-na=a(1+r).dfrac(1+r)^n-1r-na$ (đồng).

Từ đây ta có những công thức tương tác khác tuỳ ở trong vào yêu cầu bài bác toán:

Số tiền gửi mọi đặn đầu từng kì là $a=dfracA_nr(1+r)<(1+r)^n-1>$(đồng).

Số kì gửi là .>

*Chú ý.Ta nên ý niệm số tiền đuc rút là số tiền tiếp thu của $n$ khoản gửi, mỗi khoảng $a$ đồng cùng với kì hạn gửi khớp ứng là $n,n-1,...,1$ lúc ấy số tiền bỏ túi theo bí quyết lãi kép là

Ví dụ 1.Theo bề ngoài lãi kép, đầu từng tháng một fan gửi số đông đặn vào bank cùng một số tiền 10 triệu đồng, lãi suất vay theo kì hạn 1 tháng là 0,5% thì sau hai năm số tiền fan này đuc rút (cả nơi bắt đầu và lãi) là ?

A.255,591 (triệu đồng).C.254,591 (triệu đồng).

B.254,320 (triệu đồng).D.255,320 (triệu đồng).

Giải.Số tiền tín đồ này thu về sau 2 năm là

<10(1+0,005)^24+10(1+0,005)^23+...+10(1+0,005)^1=10(1+0,005).dfrac(1+0,005)^24-10,005approx 255,591> (triệu đồng). Chọn lời giải A.

Ví dụ 2.Theo hình thức lãi kép, đầu mỗi tháng một fan gửi số đông đặn vào ngân hàng cùng một số tiền $m$ (triệu đồng), lãi vay theo kì hạn 1 mon là 0,5% thì sau 2 năm số tiền bạn này đuc rút (cả nơi bắt đầu và lãi) là 100 (triệu đồng). Tính số tiền $m.$

A. > (triệu đồng).C. > (triệu đồng).

B. > (triệu đồng).D. Xem thêm: Cần Tìm Nguồn Hàng Việt Nam Xuất Khẩu, Bán Buôn Thời Trang Thiết Kế > (triệu đồng).

Giải.Số tiền fan này thu về sau 2 năm là

Theo mang thiết, ta có

> (triệu đồng).

Chọn lời giải A.

Ví dụ 3.Một tín đồ cứ phần nhiều đặn đầu từng tháng đa số gửi vào bank một khoản tiền tiết kiệm ngân sách và chi phí là $x$ đồng. Tìm kiếm $x$ để tín đồ này thừa nhận về số chi phí $200$ triệu đồng sau $36$ tháng gửi tiết kiệm. Biết rằng tiền tiết kiệm chi phí gửi bank theo bề ngoài lãi kép, kỳ hạn một tháng với lãi suất là $0,67$% một tháng và lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi.

A. $x=4900000.$

B. $x=4800000.$

C. $x=4890000.$

D. $x=4000000.$

Giải.Tổng số tiền nhận thấy là $xleft( 1+0,0067 ight)^36+xleft( 1+0,0067 ight)^35+...+xleft( 1+0,0067 ight)^1=200.10^6$

$Leftrightarrow x=dfrac200.10^6sumlimits_k=1^36left( 1+0,0067 ight)^kapprox 48981500.$ Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 4.Đều đặn đầu từng tháng anh A gửi tiết kiệm chi phí số chi phí 6 triệu đồng/tháng với lãi suất 0,5%/tháng với cứ sau đúng hai năm số chi phí gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí đều đặn mỗi tháng tăng thêm 10% đối với 2 thời gian trước đó. Sau đúng 50 tháng tính từ lúc ngày gửi anh A cảm nhận tổng số tiền bằng (giả định trong thời hạn này lãi suất không cụ đổi)

A. $341.570.000$ đồng.

B. $336.674.000$ đồng.

C. $359.598.000$ đồng.

D. $379.782.000$ đồng.

Giải. từ đầu tháng 1 đến vào đầu tháng 24 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu hàng tháng là $m=6$ triệu đồng.

Từ thời điểm đầu tháng 25 đến vào đầu tháng 48 số tiền gửi tiết kiệm đều đặn đầu mỗi tháng là $m_1=m imes (1+0,1)$ triệu đồng.

Từ vào đầu tháng 49 đến vào đầu tháng 50 số chi phí gửi tiết kiệm ngân sách đều đặn đầu hàng tháng là $m_2=m_1 imes (1+0,1)=m imes (1+0,1)^2$ triệu đồng.

Tổng số tiền nhận ra sau đúng 50 tháng kể từ ngày gởi là

<eginarrayl left< m(1 + 0,005)^50 + ... + m(1 + 0,005)^27 ight> + left< m_1(1 + 0,005)^26 + ... + m_1(1 + 0,005)^3 ight> + left< m_2(1 + 0,005)^2 + m_2(1 + 0,005)^1 ight>\ = msumlimits_k = 27^50 (1,005)^k + m_1sumlimits_k = 3^26 (1,005)^k + m_2sumlimits_k = 1^2 (1,005)^k \ = 6sumlimits_k = 27^50 (1,005)^k + 6 imes 1,1sumlimits_k = 3^26 (1,005)^k + 6 imes 1,1^2sumlimits_k = 1^2 (1,005)^k = 359,598. endarray>

Chọn lời giải C.

Dạng 3:Theo hình thức lãi kép, vay $A$ đồng, lãi suất vay $r,$ trả nợ phần đông đặn từng kì số tiền $m$ đồng. Hỏi sau bao nhiêu kì thì trả hết số nợ tất cả cả cội và lãi ?

Gọi $m$ là số chi phí trả đầy đủ đặn mỗi kì.

Sau kì đầu tiên số tiền còn đề nghị trả là $A_1=A(1+r)-m.$

Sau kì máy hai số chi phí còn buộc phải trả là

$A_2=A_1(1+r)-m=left< A(1+r)-m ight>(1+r)-m=A(1+r)^2-left< m+m(1+r) ight>.$

Sau kì máy n số tiền còn yêu cầu trả là

.>

Theo phương pháp tổng riêng sản phẩm $n$ của một cấp cho số nhân, ta có

Sau kì thứ $n$ trả không còn nợ nên $A_n=0,$ bởi vì đó

(đồng).

Số chi phí vay gốc là $A=dfracmleft< (1+r)^n-1 ight>r(1+r)^n$ (triệu đồng).Lấy logarit hai vế, ta bao gồm

Ví dụ 1.Theo vẻ ngoài lãi kép, một bạn vay ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất vay theo kì hạn 1 mon là 1%. Fan này trả nợ gần như đặn cho bank mỗi mon cùng một trong những tiền $m$ triệu đồng. Sau đúng một năm thì tín đồ này trả hết nợ. Tính số chi phí $m.$

A. (triệu đồng).C. (triệu đồng).

B. (triệu đồng).D. (triệu đồng).

Giải.Số chi phí còn nên trả sau tháng thứ nhất là $A_1=100(1+0,01)-m.$

Số tiền còn đề xuất trả sau tháng vật dụng hai là $A_2=A_1(1+0,01)-m=100(1+0,01)^2-m-m(1+0,01).$

Số chi phí còn cần trả sau tháng trang bị 12 là $A_12=100(1+0,01)^12-left< m+m(1+0,01)+...+m(1+0,01)^11 ight>.$

Theo bí quyết tổng riêng rẽ của cấp số nhân, ta có

Sau mon 12 bạn này trả hết nợ đề nghị $A_12=0,$ vì chưng đó

<100(1+0,01)^12-m.dfrac(1+0,01)^12-10,01=0Leftrightarrow m=dfrac100 imes 0,01 imes (1+0,01)^12(1+0,01)^12-1=frac(1,01)^12(1,01)^12-1> (triệu đồng).

Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 2. Ông A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất vay 0,67% /tháng. Ông ta mong muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng tính từ lúc ngày vay, ông ta bước đầu hoàn nợ; nhì lần trả nợ thường xuyên cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ từng tháng đều bằng nhau và bằng 3 triệu. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tiễn của mon đó. Hỏi bằng phương pháp hoàn nợ đó, ông A đề xuất trả tối thiểu bao nhiêu tháng tính từ lúc ngày vay mang đến lúc trả không còn nợ bank (giả định trong thời gian này lãi suất không thế đổi)

A. 17 tháng. B. 19 tháng. C. 18 tháng. D. 20 tháng.

Giải.Số tiền còn nợ sau tháng thứ nhất là $A_1=50(1+0,0067)^1-3.$

Số chi phí còn nợ sau tháng trang bị hai là $A_2=A_1(1+0,0067)^1-3=50(1+0,0067)^2-left< 3+3(1,0067) ight>.$

…

Số chi phí còn nợ sau tháng trang bị n là $A_n=50(1+0,0067)^n-left< 3+3(1,0067)+...+3(1,0067)^n-1 ight>=50(1,0067)^n-3frac(1,0067)^n-10,0067.$

Trả không còn nợ khi

Vậy sau đúng 18 tháng tính từ lúc ngày vay vẫn trả không còn nợ. Chọn lời giải C.

Ví dụ 3. Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, từng tháng mua trả góp 10 triệu đồng với lãi suất vay cho số tiền không trả là 1% mỗi tháng. Kỳ trả thứ nhất là sau đúng một tháng tính từ lúc ngày vay, biết lãi vay không thay đổi trong suốt quá trình vay. Hỏi số tiền đề xuất trả sống kỳ ở đầu cuối là bao nhiêu để tín đồ này trả không còn nợ ngân hàng?

A. $2.921.000$ đồng.

B. $3.387.000$ đồng.

C. $2.944.000$ đồng.

D. $3.353.000$ đồng.

Giải.Tổng số tiền còn nợ bank sau mon thứ một là $A_1=400(1+0,01)^1-10.$

Tổng số tiền còn nợ bank sau tháng thứ hai là $A_2=A_1(1+0,01)^1-10=400(1+0,01)^2-left< 10+10(1,01) ight>.$

Tổng số tiền còn nợ ngân hàng sau tháng vật dụng n là $A_n=400(1,01)^n-left< 10+10(1,01)+...+10(1,01)^n-1 ight>=400(1,01)^n-10frac(1,01)^n-10,01=1000-600(1,01)^n.$

Trước tiên giải $A_n=0Leftrightarrow (1,01)^n=frac53Leftrightarrow n=log _1,01left( frac53 ight)approx 51,33.$

Số chi phí còn nợ bank sau tháng sản phẩm 51 là $1000-600(1,01)^51approx 3.353.000$ đồng.

Số tiền cần trả cho ngân hàng cho tháng thứ 52 (kỳ cuối cùng) là $left( 1000-600(1,01)^51 ight) imes 1,01approx 3.387.000$ đồng. Chọn đáp án B.

Ví dụ 4:Hai bạn bè An và Bình cùng vay tiền ở bank với lãi suất $0,7$% một mon với tổng số tiền vay của hai người là 200 triệu đồng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, mỗi người ban đầu trả nợ cho bank khoản vay mượn của mình. Mỗi tháng hai bạn trả số tiền cân nhau cho bank để trừ vào tiền cội và lãi. Để trả hết cội và lãi cho ngân hàng thì An buộc phải 10 tháng, Bình cần 15 tháng. Số chi phí mà mọi cá nhân trả cho ngân hàng mỗi tháng gần nhất với số chi phí nào dưới đây?

A. 7 614 000 đồng.

B. 10 214 000 đồng.

C. 9 248 000 đồng.

D. 8 397 000 đồng.

Giải.Gọi số chi phí vay ban sơ là $u_0$ (đồng), tiền trả mỗi tháng là $x$ (đồng) và lãi suất vay hàng mon là 0, 7%.

Số tiền sót lại sau 1 mon $u_1=u_01,007-x$ (đồng)

Số tiền còn sót lại sau 2 mon là $u_2=u_11,007-x=u_01,007^2-1,007x-x=u_01,007^2-xleft( 1+1,007 ight)$ (đồng).

Số tiền còn sót lại sau n tháng là $u_n=u_01,007^n-xleft( 1+1,007+1,007^2+...+1,007^n-1 ight)=u_01,007^n-xdfrac1,007^n-10,007$ (đồng).

Sau n mon thì hết nợ $Rightarrow u_n=0Leftrightarrow u_0=dfracxleft( 1,007^n-1 ight)0,007.1,007^n$ (đồng)

Để trả hết nợ thì An buộc phải 10 tháng cùng Bình nên 15 tháng với số tiền trả hàng tháng của nhì người giống hệt và tổng số chi phí vay của hai bạn là 200 triệu vnd nên ta tất cả $dfracxleft( 1,007^10-1 ight)0,007.1,007^10+dfracxleft( 1,007^15-1 ight)0,007.1,007^15=2.10^8Rightarrow xapprox 8397070$ (đồng). Chọn đáp án D.

Tự luyện:Ba anh Sơn, Tuấn cùng Minh cùng vay tiền làm việc một bank với lãi vay $0,7$%/tháng, tổng số chi phí vay của tất cả ba người là $1$ tỷ đồng. Hiểu được mỗi tháng ba người gần như trả cho ngân hàng một số tiền hệt nhau để trừ vào tiền cội và lãi. Để trả hết nơi bắt đầu và lãi cho bank thì Sơn nên $10$ tháng, Tuấn buộc phải $15$ tháng và Minh phải $25$ tháng. Số tiền trả hầu như đặn cho ngân hàng mỗi tháng sớm nhất với số chi phí nào dưới đây?

A. $21090000$ đồng.

B. $21400000$ đồng.

C. $21420000$ đồng.

D. $21900000$ đồng.

Bạn gọi cần bản PDF của bài viết này hãy để lại comment trong phần comment ngay mặt dưới bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn

Đề thi thử xuất sắc nghiệp thpt 2023 môn Toán có giải mã chi tiếtCombo 4 Khoá Luyện thi THPT tổ quốc 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Fj
QXMYs7.png" alt="*">