Home › Trắc nghiệm › chứng minh độc lập tuyến tính

Chứng Minh Độc Lập Tuyến Tính, Độc Lập Tuyến Tính Phụ Thuộc Tuyến Tính

Admin - 19/01/2023 250

Bài viết bên dưới TTnguyen sẽ chia sẻ một số triết lý cơ bạn dạng cùng với các dạng bài tập về hòa bình tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính trong công tác toán cao cấp môn đại số cùng hình học tập giải tích.

Bạn đang xem: Chứng minh độc lập tuyến tính

1. Độc lập đường tính và nhờ vào tuyến tính là gì?4. Bài tập về tự do tuyến tính và dựa vào tuyến tính gồm lời giải

1. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính là gì?

Một hệ các vectơ v1,…,vn trong không gian vectơ V được call là phụ thuộc tuyến tính, giả dụ tồn tại những số: k1,…, kn không đồng thời bằng 0 sao cho:k1 v1 +… + kn toàn quốc = 0.

Hệ các vectơ là độc lập đường tính khi và chỉ còn khi phương trình vectơ:

k1 v1 +… + kn vn = 0 chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 =… = kn = 0

1.1 Hình ảnh độc lập tuyến đường tính

1.2 Hình hình ảnh phụ thuộc tuyến tính

2. Cách triệu chứng minh độc lập tuyến tính và nhờ vào tuyến tính

Điều kiện hòa bình tuyến tính, dựa vào tuyến tính với ma trận vuông: tính định thức
Nếu định thức =0 => bao gồm vô số nghiệm => phụ thuộc tuyến tính ( nghiệm không tầm thường)Nếu định thức ≠ 0 => gồm nghiệm nhất => độc lập tuyến đường tínhĐiều khiếu nại với ma trận thường: chuyển đổi siêu cấp cho về ma trận bậc thang
Nếu bao gồm nghiệm duy nhất => độc lập tuyến tính
Nếu có vô số nghiệm => phụ thuộc tuyến tính

3. Các định lí về chủ quyền tuyến tính và nhờ vào tuyến tính

Phụ thuộc đường tính
Độc lập con đường tính

Mọi tập hợp cất vectơ 0 đều nhờ vào tuyến tính, tức là nếu 0 ∈ S thì S phụ thuộc vào tuyến tính.	Mọi tập hợp tự do tuyến tính thì không đựng vectơ 0, có nghĩa là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì vectơ 0 ∉ S.
Mọi tập hợp cất tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc vào tuyến tính, tức là nếu E ⊂F cùng E nhờ vào tuyến tính thì F nhờ vào tuyến tính.	Mọi tập bé khác rỗng của một tập chủ quyền tuyến tính thì hòa bình tuyến tính. Có nghĩa là Ø ≠ E ⊂ F với F hòa bình tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.
Tập S=u1,u2,…,um (m≥2) dựa vào tuyến tính khi và chỉ khi mãi mãi vectơ ui ∈ S làm thế nào để cho ui là tổ hợp tuyến tính của những vectơ còn sót lại trong S.	Tập S ≠ Ø chủ quyền tuyến tính khi và chỉ còn khi từng vectơ ngẫu nhiên u ∈ S đầu quan trọng là tổng hợp tuyến tính của những vectơ sót lại trong S.
Mọi tập khác rỗng S ⊂ V thì hoặc S tự do tuyến tính hoặc S nhờ vào tuyến tính.

Tóm lại:

Hai vectơ dựa vào tuyến tính nếu và chỉ còn khi bọn chúng thẳng hàng, tức là một vectơ là bội số vô vị trí hướng của vectơ kia.Bất kỳ tập hòa hợp nào chứa vectơ 0 đều phụ thuộc vào tuyến tính.Nếu một tập hợp bé củav1,v2,…,vklà phụ thuộc tuyến tính, sau đóv1,v2,…,vkcũng phụ thuộc vào tuyến tính.

4. Bài xích tập về chủ quyền tuyến tính và dựa vào tuyến tính có lời giải

Ví dụ 1: Xét sự độc lập tuyến tính, nhờ vào tuyến tính của hệ vectơ

S=2-x,2x-x2,6-5x+x2

Giải

Xét hệ phương trình sau:

Đổi chỗ những phương trình để tiện lợi cho câu hỏi tính toán

Xét ma trận bổ sung cập nhật của phương trình

Cách 2: vì chưng ma trận A vuông => det
A=((-1).(-1).6+2.2.1)-(2.-1.-5)=0 => phụ thuộc vào tuyến tính

số chiều của không gian vectơ

giá trị riêng biệt của ma trận

bài tập ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 2: minh chứng hệ vectơ độc lập tuyến tính

Giải

Xét ma trận bổ sung sau:

Ví dụ 3: Kiểm tra những tập sau đây phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính:

1.u1=(1,2) với u2=(-3,-6) vào R2

=> phụ thuộc tuyến tính vị u1=-3u2

2.u1=(1,2,3) và u2=(3,6,7) vào R3

=> Độc lập con đường tính

3.u1=(4,-2,6) và u2=(6,-3,9) vào R3

Xét ma trận vấp ngã sung:

=> vô vàn nghiệm=> phụ thuộc vào tuyến tính

4.u1=(5,4,3), u2=(3,3,2), u2=(8,1,3) vào R3

Xét ma trận té sung:

5. 1+3x+3x2, x+4x2, 5+6x+3x2, 7+2x-x2 trong P2

=> phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4: tìm kiếm m để hệ 4 vectơ tự do tuyến tính

X1=(4,4,2,8); X2=(3,1,0,4); X3=(-2,4,-4,-6); X4=(4,9,2,m−1)

Bài viết này giaoandientu.edu.vn giới thiệu đến các bạn đọc không thiếu Lý thuyết và các dạng bài xích tập Minh hoạ ngôn từ Độc lập đường tính và dựa vào tuyến tính - Đại số tuyến đường tính - Toán thời thượng dành mang lại SV

Biểu diễn tuyến tính

Cho hệ $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m.$ Véctơ $Xin mathbbR^n$ được màn trình diễn tuyến tính qua $m$ véctơ $X_1,X_2,...,X_m$ ví như tồn tại $m$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ làm thế nào cho $X=alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m.$Đẳng thức trên tương đương với: $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ là nghiệm của hệ phương trình tuyến đường tính bao gồm $n$ phương trình cùng $m$ ẩn $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ gồm ma trận hệ số không ngừng mở rộng $overlineA=left( X_1 ext X_2...X_m ext X ight)$ trong số đó các véctơ $X_1,X_2,...,X_m,X$ được viết bên dưới dạng cột:

Ví dụ 1:Hãy màn biểu diễn tuyến tính véctơ $X=(3,-5,-10,15)$ qua các véctơ $X_1=(3,-2,4,5),X_2=(1,1,7,-3),X_3=(0,2,3,-4).$

Giải.Xét màn biểu diễn $X = xX_1 + yX_2 + zX_3 Leftrightarrow left{ egingathered 3x + y = 3 hfill \ - 2x + y + 2z = - 5 hfill \ 4x + 7y + 3z = - 10 hfill \ 5x - 3y - 4z = 15 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered x = 2 hfill \ y = - 3 hfill \ z = 1 hfill \ endgathered ight. Rightarrow X = 2X_1 - 3X_2 + X_3.$

Ví dụ 2:Hãy màn trình diễn tuyến tính véctơ $X=(1,-2,10,197)$ qua các véctơ $X_1=(1,3,4,5),X_2=(2,2,-1,3),X_3=(3,5,1,-2),X_4=(-4,7,2,4).$

Giải.Xét biểu diễn $X = xX_1 + yX_2 + zX_3 + tX_4 Leftrightarrow left{ egingathered x + 2y + 3z - 4t = 1 hfill \ 3x + 2y + 5z + 7t = - 2 hfill \ 4x - y + z + 2t = 10 hfill \ 5x + 3y - 2z + 4t = 197 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered x = 14 hfill \ y = 27 hfill \ z = - 21 hfill \ t = 1 hfill \ endgathered ight. Rightarrow X = 14X_1 + 27X_2 - 21X_3 + X_4.$

Độc lập đường tính và phụ thuộc vào tuyến tính của một hệ véctơ

Cho $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m.$ Xét đẳng thức: $alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m=O_n(*).$ Đẳng thức này tương đương với hệ tuyến đường tính tổng quát có $n$ phương trình với $m$ ẩn $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ có ma trận hệ số là $A=left( X_1 ext X_2 ext X_m ight),$ trong các số đó các véctơ $X_1,X_2,...,X_m$ viết bên dưới dạng cột.Hệ bao gồm $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m$ được call là chủ quyền tuyến tính trường hợp (*) chỉ xẩy ra khi $alpha _1=alpha _2=...=alpha _m=0,$ tức hệ đường tính thuần nhất có ma trận thông số $A$ gồm nghiệm bình thường duy nhất, tức quá trình đổi khác ma trận thông số $A$ xong xuôi dưới dạng tam giác.Hệ tất cả $m$ véctơ $n$ chiều $X_1,X_2,...,X_m$ được điện thoại tư vấn là dựa vào tuyến tính nếu như tồn tại $m$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ không đồng thời bằng 0 thế nào cho đẳng thức (*) xảy ra, tức hệ tuyến đường tính thuần nhất tất cả ma trận hệ số $A$ bao gồm vô số nghiệm, tức quá trình thay đổi ma trận hệ số $A$ xong dưới bản thiết kế thang.

Ví dụ 1.Cho $P=left A,B,C ight,Q=left A,B,A+2C ight.$ minh chứng rằng $P$ chủ quyền tuyến tính thì $Q$ hòa bình tuyến tính.

Giải.Giả sử ngược $Q=left A,B,A+2C ight$ nhờ vào tuyến tính khi ấy tồn trên 3 số thực $alpha _1,alpha _2,alpha _3$ khôngđồng thời bởi 0 sao cho $eginarrayl alpha _1A + alpha _2B + alpha _3(A + 2C) = O Leftrightarrow (alpha _1 + alpha _3)A + alpha _2B + 2alpha _3C = O\ Leftrightarrow left{ eginarrayl alpha _1 + alpha _3 = 0\ alpha _2 = 0\ 2alpha _3 = 0 endarray ight. Leftrightarrow alpha _1 = alpha _2 = alpha _3 = 0. endarray$(vô lí).

Vậy $Q=left A,B,A+2C ight$ chủ quyền tuyến tính.

Ví dụ 2:Chứng minh rằng với đa số $m$ hệ véctơ $X_1=(2,3,4,-1),X_2=(-1,2,-2,1),X_3=(3,m,4,2)$ độc lập tuyến tính.

Giải.Xét hệ thuần nhất tất cả ma trận hệ số:

$egingathered A = left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ 3&2&m \ 4& - 2&4 \ - 1&1&2 endarray ight)xrightarrowdoichod2& d4left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ - 1&1&2 \ 4& - 2&4 \ 3&2&m endarray ight)xrightarrowdoichod1& d2left( eginarray*20c - 1&1&2 \ 2& - 1&3 \ 4& - 2&4 \ 3&2&m endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl 2d_1 + d_2 \ 4d_1 + d_3 \ 3d_1 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&1&2 \ 0&1&7 \ 0&2&12 \ 0&5&m + 6 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl - 2d_2 + d_3 \ - 5d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&1&2 \ 0&1&9 \ 0&0& - 2 \ 0&0&m - 29 endarray ight)xrightarrow(m - 29)d_3 + 2d_4left( eginarray*20c - 1&1&2 \ 0&1&9 \ 0&0& - 2 \ 0&0&0 endarray ight) hfill \ endgathered $

Quá trình khử ẩn chấm dứt ở dạng tam giác cần hệ thuần nhất có nghiệm bình bình duy nhất, điều đó minh chứng hệ véctơ sẽ cho hòa bình tuyến tính. Điều yêu cầu chứng minh.

Ví dụ 3:Cho hệ gồm những véctơ $A_1,A_2,A_3,A_4in mathbbR^n$ độc lập tuyến tính. Xét sự phụ thuộc tuyến tính và chủ quyền tuyến tính của hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ với $left{ egingathered X_1 = A_1 - 4A_2 + A_3 - A_4 hfill \ X_2 = 2A_2 + A_3 + 8A_4 hfill \ X_3 = - A_1 + 2A_2 - 2A_3 + 3A_4 hfill \ X_4 = A_1 + 2A_2 + A_3 + 9A_4 hfill \ endgathered ight..$

Giải.Xét đẳng thức:

Vậy hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ tự do tuyến tính.

Ví dụ 4:Xét sự chủ quyền và dựa vào tuyến tính của hệ véctơ

$left A_1=left( 0,1,2,3 ight),A_2left( -3,2,3,0 ight),A_3left( 3,-1,-1,k ight) ight.$

Giải.Xét ma trận nhận các véctơ đã chỉ ra rằng véctơ cột

$egingathered A = left( eginarray*20c 0& - 3&3 \ 1&2& - 1 \ 2&3& - 1 \ 3&0&k endarray ight)xrightarrowmathbfdoi\_cho\_mathbfd_mathbf1mathbf& mathbfd_mathbf2left( eginarray*20c 1&2& - 1 \ 0& - 3&3 \ 2&3& - 1 \ 3&0&k endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c 1&2& - 1 \ 0& - 3&3 \ 0& - 1&1 \ 0& - 6&k + 3 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl mathbf - 3mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf - 6mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c 1&2& - 1 \ 0&0&0 \ 0& - 1&1 \ 0&0&k - 3 endarray ight)xrightarrowmathbfbo\_di\_mathbfd_mathbf2left( eginarray*20c 1&2& - 1 \ 0& - 1&1 \ 0&0&k - 3 endarray ight). hfill \ endgathered $

+) cùng với $k-3 e 0.$ quá trình khử ẩn xong xuôi ở dạng tam giác phải hệ véctơ đã cho tự do tuyến tính.

+) với $k-3=0Leftrightarrow k=3$ hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính.

Xem thêm: Dễ dàng hay rễ ràng hay dễ dàng ", hon loan the gioi moi

Ví dụ 5:Cho hệ véctơ $U=left e_1,e_2,e_3,e_4,e_5 ight$ độc lập tuyến tính. Xét sự phụ thuộc vào tuyến tính của hệ véctơ $V=left e_1+e_2,2e_2+2e_3,3e_3+3e_4,4e_4+4e_5,5e_5+5e_1 ight.$

Giải.Xét $x_1left( e_1+e_2 ight)+x_2left( 2e_2+2e_3 ight)+x_3left( 3e_3+3e_4 ight)+x_4left( 4e_4+4e_5 ight)+x_5left( 5e_5+5e_1 ight)=0$

$Leftrightarrow left( x_1+5x_5 ight)e_1+left( x_1+2x_2 ight)e_2+left( 2x_2+3x_3 ight)e_3+left( 3x_3+4x_4 ight)e_4+left( 4x_4+5x_5 ight)e_5=0$

Do $U$ tự do tuyến tính nên $left{ egingathered x_1 + 5x_5 = 0 hfill \ x_1 + 2x_2 = 0 hfill \ 2x_2 + 3x_3 = 0 hfill \ 3x_3 + 4x_4 = 0 hfill \ 4x_4 + 5x_5 = 0 hfill \ endgathered ight.$

$Rightarrow 5x_5=-x_1=2x_2=-3x_3=4x_4=-5x_5Leftrightarrow x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0.$ Vậy $V$ độc lập tuyến tính.

Bằng biện pháp lập luận tựa như ta bao quát được vấn đề sau:

Xét hệ véctơ $U=left e_1,e_2,...,e_n ight$ độc lập tuyến tính, lúc đó:

Hệ véctơ $V=left e_1+e_2,2e_2+2e_3,...,left( n-1 ight)e_n-1+left( n-1 ight)e_n,ne_n+ne_1 ight$

(i) tự do tuyến tính khi n lẻ;

(ii) dựa vào tuyến tính lúc n chẵn.

Ví dụ 6:Tìm $m$ nhằm hệ véctơ $X_1=(-1,3,2,1),X_2=(2,4,-3,-1),X_3=(1,2,3,4),X_4=(5,5,5,m)$ hòa bình tuyến tính.

Giải.Xét hệ phương trình thuần nhất gồm ma trận hệ số:

$A = left( eginarray*20c - 1&2&1&5 \ 3&4&2&5 \ 2& - 3&3&5 \ 1& - 1&4&m endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&5 \ 0&10&5&20 \ 0&1&5&15 \ 0&1&5&m + 5 endarray ight)$

$xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + 10mathbfd_mathbf3 \ mathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + 10mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&5 \ 0&10&5&20 \ 0&0&45&130 \ 0&0&45&10m + 30 endarray ight)xrightarrowmathbf - mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&5 \ 0&10&5&20 \ 0&0&45&130 \ 0&0&0&10m - 100 endarray ight)$

Vậy hệ véctơ chủ quyền tuyến tính $Leftrightarrow 10m-100 e 0Leftrightarrow m e 10.$

Ví dụ 7:Cho các véctơ $X_1 = left( eginarray*20c 1 \ 2 \ 1 endarray ight);X_2 = left( eginarray*20c 2 \ 1 \ 1 endarray ight);X_3 = left( eginarray*20c 1 \ 2 \ 2 endarray ight);X_4 = left( eginarray*20c 3 \ 1 \ 2 endarray ight);X_5 = left( eginarray*20c 3 \ 0 \ 1 endarray ight).$

a) chứng minh rằng $left X_2,X_4,X_5 ight$ hòa bình tuyến tính.

b) màn biểu diễn tuyến tính các véctơ còn lại qua hệ véctơ $left X_2,X_4,X_5 ight.$

Giải. Xét ma trận

Biến thay đổi sơ cấp cho cho ma trận này $Axrightarrowmathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf1left( eginarray*20c 1&2&3& - 1& - 1 \ 1&1&0&2&2 \ 1&2&1&1&2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 endsubarray left( eginarray*20c 1&2&3& - 1&1 \ 0& - 1& - 3&3&3 \ 0&0& - 2&2&3 endarray ight)$

$Rightarrow left X_2,X_4,X_5 ight$ độc lập tuyến tính

Biểu diễn con đường tính những véctơ $X_1,X_3$ qua hệ véctơ $left X_2,X_4,X_5 ight.$

Ta tất cả $X_1 = xX_2 + yX_4 + zX_5 Rightarrow left{ egingathered x + 2y + 3z = - 1 hfill \ - y - 3z = 3 hfill \ - 2z = 2 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered x = 2 hfill \ y = 0 hfill \ z = - 1 hfill \ endgathered ight. Rightarrow X_1 = 2X_2 - X_5$

Ta bao gồm $X_3 = xX_2 + yX_4 + zX_5 Rightarrow left{ egingathered x + 2y + 3z = 1 hfill \ - y - 3z = 3 hfill \ - 2z = 3 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered x = 5/2 hfill \ y = 3/2 hfill \ z = - 3/2 hfill \ endgathered ight. Rightarrow X_3 = dfrac52X_2 + dfrac32X_4 - dfrac32X_5.$

Ví dụ 8:Cho hệ véctơ $left u_1,u_2,...,u_n,u_n+1 ight$ dựa vào tuyến tính và hệ véctơ $left u_1,u_2,...,u_n ight$ chủ quyền tuyến tính. Chứng minh rằng $u_n+1$ màn biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left u_1,u_2,...,u_n ight.$

Giải.Vì hệ véctơ $left u_1,u_2,...,u_n,u_n+1 ight$ phụ thuộc vào tuyến tính yêu cầu tồn trên $n+1$ số thực $a_1,a_2,...,a_n,a_n+1$ ko đồng thời bởi 0 làm sao cho $a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n+a_n+1u_n+1=O.$

Nếu $a_n+1=0Rightarrow a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n=OLeftrightarrow a_1=a_2=...=a_n=0$ vì hệ véctơ $left u_1,u_2,...,u_n ight$ tự do tuyến tính, lúc này mâu thuẫn với trả thiết các số thực không đồng thời bằng 0.

Vậy $a_n+1 e 0Rightarrow u_n+1=-dfrac1a_n+1left( a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n ight).$ Ta có điều yêu cầu chứng minh.

Ví dụ 9:Trong không gian véctơ $V$ các đa thức thông số thực gồm bậc không vượt vượt 3 và cả đa thức 0. Xét hệ véctơ $S=left p_1left( x ight),p_2left( x ight),p_3left( x ight),p_4left( x ight) ight$

trong kia $p_1left( x ight)=1;p_2left( x ight)=x-1;p_3left( x ight)=left( x-1 ight)left( x-2 ight);p_4left( x ight)=left( x-1 ight)left( x-2 ight)left( x-3 ight).$

a) chứng tỏ rằng $S$ độc lập tuyến tính

b) Xét $pleft( x ight)=ax^3+bx^2+bx+2023$ cùng với $a,b$ là những số nguyên. Khi biểu diễn tuyến tính $pleft( x ight)$ qua những véctơ trong $S$ ta được

$pleft( x ight)=m_1p_1left( x ight)+m_2p_2left( x ight)+m_3p_3left( x ight)+m_4p_4left( x ight).$

Chứng minh rằng $m_2+2m_3+2m_4$ là một vài nguyên phân chia hết mang đến $3.$

Giải. Xét $a_1.p_1left( x ight)+a_2.p_2left( x ight)+a_3.p_3left( x ight)+a_4.p_4left( x ight)=0$

$Leftrightarrow a_1+a_2left( x-1 ight)+a_3left( x-1 ight)left( x-2 ight)+a_4left( x-1 ight)left( x-2 ight)left( x-3 ight)=0left( * ight)$

Thay theo thứ tự $x=0;x=1;x=2;x=3$ vào

Vậy $S$ độc lập tuyến tính.

Từ trình diễn tuyến tính $pleft( x ight)=m_1p_1left( x ight)+m_2p_2left( x ight)+m_3p_3left( x ight)+m_4p_4left( x ight)$

$Rightarrow pleft( 4 ight)-pleft( 1 ight)=left( m_1+3m_2+6m_3+6m_4 ight)-m_1=3left( m_2+2m_3+m_4 ight)$

Mặt khác $pleft( 4 ight)-pleft( 1 ight)=3left( 21a+6b ight)Rightarrow m_2+2m_3+m_4=21a+6b$ là một vài nguyên phân chia hết mang đến 3.

Ví dụ 10:Trong không gian véctơ $V$ gồm các đa thức thông số thực bậc bé dại hơn 7, xét các đa thức:

$B_i=x^i(1-x)^6-i,i=0,1,...,6.$ chứng tỏ rằng:

a) các đa thức $B_0,B_1,...,B_6$ độc lập tuyến tính trong $V;$

b) hoàn toàn có thể bỏ đi một nhiều thức $B_i$ nào đó để các đạo hàm $B_0^prime ,...,B_i-1^prime ,B_i+1^prime ,...,B_6^prime $ là chủ quyền tuyến tính.

Giải.a) Xét phương trình: $sumlimits_i=0^6b_iB_i=0Leftrightarrow sumlimits_i=0^6b_ix^i(1-x)^6-i=0(*).$

Trong (*) nuốm $x=0Rightarrow b_0=0Rightarrow sumlimits_i=1^6b_ix^i(1-x)^6-i=0,$ chia hai vế mang lại $x$ ta được $b_1+sumlimits_2=1^6b_ix^i-1(1-x)^6-i=0,$ thường xuyên thay $x=0Rightarrow b_1=0.$ tựa như như vậy gồm $b_2=b_3=...=b_6=0.$

Vậy những đa thức $B_0,B_1,...,B_6$ chủ quyền tuyến tính trong $V.$

Ví dụ 11: Trong không gian véctơ V gồm những hàm số sin, xét những hàm số:

$f_ileft( x ight)=sin left( ix ight);g_ileft( x ight)=sin left| x-ipi ight|,i=1,2,3.$ chứng minh rằng

a) các hàm số $f_1left( x ight),f_2left( x ight),f_3left( x ight)$ tự do tuyến tính trong V.

b) các hàm số $f_1left( x ight),f_2left( x ight),f_3left( x ight),g_1left( x ight),g_2left( x ight),g_3left( x ight)$ tự do tuyến tính vào V.

Giải. A) Xét $a_1sin x+a_2sin left( 2x ight)+a_3sin left( 3x ight)=0left( 1 ight)$

Thay theo thứ tự $x=dfracpi 2;x=dfracpi 3;x=dfracpi 4$ vào (1) ta được $left{ egingathered a_1 - a_3 = 0 hfill \ dfracsqrt 3 2a_1 + dfracsqrt 3 2a_2 = 0 hfill \ dfrac1sqrt 2 a_1 + a_2 + dfrac1sqrt 2 a_3 = 0 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow a_1 = a_2 = a_3 = 0$

Vậy những hàm số $f_1left( x ight),f_2left( x ight),f_3left( x ight)$ tự do tuyến tính vào V.

b) Xét $a_1.f_1left( x ight)+a_2.f_2left( x ight)+a_3f_3left( x ight)+a_4.g_1left( x ight)+a_5.g_2left( x ight)+a_6.g_3left( x ight)=0$

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình con đường tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình con đường tính thuần nhất

Bài 4: quy mô Input - output đầu ra của Leontief

Bài 5: mô hình cân bằng thị phần và cân bằng tài chính vĩ mô

Các định lí về hòa bình tuyến tính và phụ thuộc vào tuyến tính

Định lí 1:Một hệ véctơ $n$ chiều tất cả số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó dựa vào tuyến tính khi và chỉ còn khi tất cả một véctơ trong hệ được màn trình diễn tuyến qua các véctơ còn lại.

Hệ quả: Hệ bao gồm hai véctơ $X,Y$ phụ thuộc vào tuyến tính khi và chỉ khi $X,Y$ phần trăm và ngược lại $X,Y$ tự do tuyến tính khi còn chỉ khi $X,Y$ không tỷ lệ.

Định lí 2:Cho nhì hệ véctơ $n$ chiều $left X_1,X_2,...,X_m ight$ cùng $left Y_1,Y_2,...,Y_k ight.$

Nếu $m>k$ và phần lớn véctơ $X_i(i=1,2,...,m)$ được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left Y_1,Y_2,...,Y_k ight$ thì hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ dựa vào tuyến tính.

Hệ quả:Mọi hệ véctơ $n$ chiều gồm số véctơ to hơn số chiều (lớn hơn $n$) thì hệ véctơ đó phụ thuộc vào tuyến tính.

Phép nhân ma trận và những tính chất

Ví dụ 1:Chứng minh rằng nếu hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ nhờ vào tuyến tính cùng véctơ $X_m$ khôngbiểu diễn tuyến tính qua các véctơ $X_1,X_2,...,X_m-1$ thì hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m-1 ight$ nhờ vào tuyến tính.

Giải.Vì hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ nhờ vào tuyến tính nên tồn tại $m$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m$ không đồng thời bởi 0 làm sao để cho $alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m=O_n.$

Do $X_m$không biểu diễn tuyến tính qua các véctơ $X_1,X_2,...,X_m-1$ yêu cầu $alpha _m=0.$

Vậy $alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _m-1X_m-1=O_n.$

Mặt khác $m-1$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m-1$ không đồng thời bởi 0 phải hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m-1 ight$ nhờ vào tuyến tính.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu như hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight\subset mathbbR^n$ tự do tuyến tính cùng tồn trên véctơ $Xin mathbbR^n$ không biểu diễn đường tính qua hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ thì $mle n-1.$

Giải. Giả sử $m>n-1$ suy ra hệ véctơ $X_1,X_2,...,X_m,X$ tất cả số véctơ là $m+1>n$ to hơn số chiều của $mathbbR^n$ nên phụ thuộc vào tuyến tính. Vì vậy trường thọ $m+1$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m,alpha $ không đồng thời bởi 0 sao cho

$alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m+alpha X=O_n.$

Do $X$khôngbiểu diễn con đường tính qua hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight$ đề xuất $alpha =0.$

Vậy $alpha _1X_1+alpha _2X_2+...+alpha _mX_m=O_nLeftrightarrow alpha _1=alpha _2=...=alpha _m=0$ (do hệ véctơ $left X_1,X_2,...,X_m ight\subset mathbbR^n$ hòa bình tuyến tính). Vậy $alpha _1=alpha _2=...=alpha _m=alpha =0$ (mâu thuẫn với $m+1$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _m,alpha $ không đồng thời bằng 0). Vậy ta bao gồm điều đề xuất chứng minh.

Hiện tại giaoandientu.edu.vn xây dừng 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:

Khoá học hỗ trợ đầy đủ kiến thức và kỹ năng và phương pháp giải bài xích tập các dạng toán kèm theo mỗi bài bác học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng tự luận tất cả lời giải chi tiết tại website sẽ giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học viên được điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 và Toán cao cấp 2 trong những trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được full bộ này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH yêu quý Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH quốc gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên mọi cả nước...